.mpipks-note | 02. 朗之万方程和主方程

上周三老板和艾萨鸽了，但是我们还是照常进行了讨论，然后讨论的主要内容很让我意外地落回了各种数学细节里，可能是本科生不在，我们都不好意思形而上的缘故吧。

疾病传播的朗之万方程——随机指数传播

两个要点：

1. 在有随机项的情况下，$d[log(x(t))] \neq (1/x)(dx/dt)$
2. 前面 Ito formula 里面的 $a$, $b$ 和后面 $a=\mu+\sigma\xi(t)$ 里的 $a$ 容易弄混。

维纳过程 (Wiener process)

讨论过程中他们问我有什么问题，我当时正在走神（呃），于是随口问了一句：讲义第4页左侧的式子为什么等于零……老实把表达式展开就知道，是后面一项 $\left<W_{t_{j+1}}-W_{t_{j}}\right>=0$

讲义中维纳过程是作为第一讲中的高斯噪音的积分出现的，也就是：$dW(t)=\xi(t)dt$，其中高斯噪声满足以下两个条件：

• (1). $\left<\xi(t)\right>=0$
• (2). $\left<\xi(t_1)\xi(t_2)\right>=\delta(t_2-t_1)$

但是维基百科中的介绍是直接定义了维纳过程本身，它应该是满足如下三个条件的随时间改变的随机变量 $W(t)$：

• (1). $W(0)=0$
• (2). 映射 $t\mapsto W(t)$ 在正实数轴上几乎处处连续
• (3). 对于两个不重叠的时间段 $0 \leq s_1 < t_1 \leq s_2 < t_2$, $W(t_1-s_1)$ 和 $W(t_2-s_2)$ 独立，$W(t-s)\sim N(0,t-s)$

这两种定义等价吗？好像是，没仔细想。不过维纳过程的存在是为了对布朗运动进行建模，布朗运动可以看作随机行走在步长趋近于0时的极限；在一年级学过的数学物理方法里，扩散方程的解也可以看作随机行走者经过时间t之后在不同位置出现的概率，也是取步长为0的极限。所以 $\xi(t)$ 似乎 可以导出 $W(t)$，甚至可以不要求 $\xi(t)$ 具有高斯分布。

以上似乎有类比谬误的嫌疑，而且假如思路正确的话，会引出一个新的问题——扩散方程的推导来自 Fick 定律，这个过程在何处引入了对随机变量在时间上的积分？

好吧，扯完了之后发现了这个链接：http://physicallensonthecell.org/advanced-diffusion-and-fokker-planck-picture

随机变量 vs. 时间变量

对于 $\xi(t)$ 函数的第二条性质，我在草纸上顺手写了如下等式：

$\left<\xi(t)\xi(t')\right>=\delta(t-t')=\frac{\int_{start}^{end}\int_{start}^{end}\xi(t)\xi(t')dtdt'}{\int_{start}^{end}\int_{start}^{end}dt\ dt'}$

但是实际上，此处的 $\left<\right>$ 应该是随机变量的期望值，也就是

$\left<\xi(t)\xi(t')\right>=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}x_1 x_2 p(\xi(t)=x_1,\xi(t')=x_2)dx_1dx_2$

跟 t 没什么关系。在平衡态统计中，系综满足 ergodicity，两者应该是相等的。但在非平衡态下没有这种保证。

随机变量说是变量，实际上需要一个函数来描述，而这个函数的“自变量”是这个随机变量的所有可能取值，这个函数的输入和输出变量之间不是因果关系，这究竟是哥本哈根学派战胜隐变量理论的过人之处，还是新的隐变量理论可能的突破口呢？再往下胡扯存在被当成民科的可能，暂且打住。

主方程解得指数分布：随机变量的特征函数 (characteristic function in probability theory)

讲义第 9 页掉落了一件重要装备——解为指数分布的主方程：

$\frac{d}{dt}p(n,t) = \lambda \left[p(n-1,t)-p(n,t)\right]$

上面说随机变量需要用一个函数来描述，但是究竟用哪个函数，却可以有多种选择。最直观的就是中学就学的，离散变量的概率分布函数和连续变量的概率分布密度函数。好处是意思直观，缺点是对于离散变量和连续变量需要分别讨论，两种函数的量纲不同，概率密度的量纲等于随机变量量纲的倒数。

为了统一量纲，所以有了累积分布函数，对离散和连续变量 $X$ 的定义都是一样的：$F(x)=prob(X<x)$。离散变量的概率分布函数是累积分布函数的差分 (difference)，连续随机变量的概率密度则是累积分布函数的微分 (differential)。

在本节第 9 页的例子里，给出了第三种函数——特征函数，对于一个随机变量 $X$ 与其所有的可能取值 $x$，特征函数引入新的自变量 $s$，由 $e^{isX}$ 的期望值给出，也就是说，特征函数是对随机变量的一个 变换。

$G_X(s) = \left<e^{isX}\right> = \sum_x prob(X=x)e^{ixs}$

因为指数函数的导数还是指数函数，所以在微分方程里很有用，下面也确实是这么用的。用变换解微分方程的套路，上一节已经遇到了，只不过研究的是动力学，总是拖着一个并未参战的 $t$，而且笔记里的形式参数和实际参数并不明确，要是在 C 语言里这么写，是会被测试打死的: $G(s,t)_{[笔记里的写法]}:=G_{N或者n[被变换的随机变量]}(s_{[特征函数真正的自变量]},t_{[时间，打酱油的]})$

福克-普朗克方程 (Fokker-Planck equation)

第 10 页，Kramers-Moyal 展开的写法是：

$\partial_tp(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\partial_x^n\alpha_n(x)p(x,t)$

维基百科上的写法是

$\partial_tp(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\partial_x^n\left[\alpha_n(x)p(x,t)\right]$

从后一页的算式来看应该是后者，前者写法不规范。