动力学[8] | 分岔 Bifurcation

分叉是动力学相变的最主要表现，是一种定性现象

上篇的配图不够潦草，这篇舒服了

还有人记得“多图杀猫”是什么意思吗 2333

分叉 (bifurcation) 是动力学相变的最主要表现，是随着参数定量变化的驻点、极限环、吸引子等结构的数量和种类变化。

分岔是一种定性现象——虽然 Steven H. Strogatz 的《Nonlinear Dynamics and Chaos》中为了方便讨论，每个例子给出了具体的动力学表达式，但是形状类似的非线性函数都会出现该种分叉现象。

动力学用相图 (phase diagram) 表示参数空间内不同的相，以及各个相之间的临界点/临界面。

当参数只有 1 个维度时，空出来的纵坐标可以表示出各个相的具体动力学特征，也就是驻点的数量和取值，此时的图像也叫分岔图 (bifurcation diagram)。

下面列举不同种类的分岔，并结合图示介绍他们的特点。

驻点相关的分岔 (Bifurcation of Fixed Points)

鞍结分岔 (saddle node bifurcation)

这种分岔的别名众多：

折叠分岔 fold bifurcation
转折点分岔 turning-point bifurcation
晴天（霹雳）分岔 (out-of-the-)blue-sky bifurcation

当动力学函数是如图所示的正 U/倒 U 形，而参数 r 可以调整函数曲线和 x 轴的高低关系时——

会有一对稳定性相反的驻点互相靠近对方，接触后湮灭，然后驻点消失。

也可以反方向理解，原本没有驻点的动力学空间里，晴天霹雳般产生出一对稳定性相反的驻点。

一维空间里不太容易看出来这种分岔为什么要叫鞍结。在二维动力学系统中，如果另一个维度是一个平凡的稳定驻点，那么上面的不稳定驻点就成为鞍点，整个系统的势能函数就像一个马鞍加半边马镫。

跨临界分岔 (transcritical bifurcation)

当 U 形动力学函数中的一个驻点位置固定，参数 r 控制另一个驻点在横轴上滑动时——

分岔图：

草叉分岔 (pitchfork bifurcation)

当动力学函数像三次多项式一样在两个单边行情中间夹杂一个回调/反弹，而参数 r 调控回调/反弹幅度时，函数与 x 轴少则一个交点，多则能有 3 个交点。

超临界 (supercritical) 草叉分岔

当两边的长臂都递减时——

如果动力学函数和横轴只有 1 个交点，那么这个驻点是稳定的；

如果动力学函数和横轴开始出现 3 个交点，原先的那个驻点从稳定变成不稳定，并在两侧各自产生一个稳定驻点。

相图长得像干农活用的草叉，故而得名。

次临界 (subcritical) 草叉分岔

反过来，当两边的长臂都递增时——

如果动力学函数和横轴一开始有 3 个交点，则中间的驻点是稳定的，两侧各有一个不稳定驻点；

当中间的下降段不断缩小，动力学函数和横轴只剩 1 个交点时，原先两侧的驻点消失，中间的稳定驻点变得不稳定。

此时整个空间中不存在稳定驻点，原先稳定在原点的动力学轨迹会突然趋向于无穷。在各种分岔中，次临界 (subcritical) 往往都意味着动力学系统的行为比较激烈。

极限环相关的分岔 (Bifurcation of Cycles)

与极限环相关的分岔有两类：

Hopf 分岔：螺旋驻点的稳定性变化、极限环的产生/湮灭
全局分岔：极坐标中的分岔在直角坐标系中的表现

Hopf 分岔

从螺旋驻点变成极限环有两种理解方式：直角坐标系和极坐标系。

直角坐标系里，本系列第 2 篇说过，高维的动力学系统，驻点的稳定性要通过雅各比 (Jacobian) 矩阵 $\hat J$ 的本征值分析来判断。对于二维雅各比矩阵，本征值为

\lambda_{\pm}=\frac{\mathrm{Tr}[\hat J]\pm\sqrt{\mathrm{Tr}^2[\hat J]-4\ \mathrm{Det}[\hat J]}}{2}

当 $\mathrm{Tr}^2[\hat J]-4\ \mathrm{Det}[\hat J]<0$ 时，本征值是一对共轭复数，驻点附近的动力学轨迹会绕着驻点螺旋，方向由 $\mathrm{Tr}[\hat J]$ 确定。当参数可以调控 $\mathrm{Tr}[\hat J]$ 时，就可以改变螺旋的方向。