如果一个物理量需要用多个直接观测量计算出来：y=f(x1,x2,...,xn)y=f(x_1,x_2,...,x_n)，这样的量叫做因变量，直接观测量叫做自变量。（比如用直尺测量长方形面积时，长、宽是自变量，面积是因变量，通过长和宽相乘计算面积的方法是一个函数。）

因为中小学减负，因变量的说法不教了，改叫函数值，为了少学一个知识点。

但是学过 C/C++ 的应该知道，对于 y=f(x1,x2,...)y=f(x_1,x_2,...)

  • 因变量 yy 是一个左值，指向 yy 的指针 float *p = &y; 拿到的地址，位于内存的数据区；
  • 函数值 f(⋅)f(\cdot) 是一个右值，ff 本身就是一个指针，void *fp = f; 拿到的地址，位于内存的指令区。

多变量测量的误差传递

先跳过单变量误差的部分（大致原理在《贝叶斯，从公式到世界观》一文频率学派的部分，具体细节以后再写），不论是测量仪器的说明书给出的误差，还是测量者通过独立重复实验取得的统计误差，我们先假设已经拿到了观测量 xx 的测量值 xˉ\bar x、误差 Δx\Delta x

因为全微分公式，对于 y=f(x1,x2,...,xn)y=f(x_1,x_2,...,x_n)

dy=∂f∂x1dx1+∂f∂x2dx2+...+∂f∂xndxn=∑in∂f∂xidxi\mathrm{d}y = \frac{\partial f}{\partial x_1}\mathrm{d}x_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}\mathrm{d}x_2 + ... + \frac{\partial f}{\partial x_n}\mathrm{d}x_n = \sum_i^n \frac{\partial f}{\partial x_i}\mathrm{d}x_i

又因为误差相对于真值往往小几个数量级，所以我们把误差看作是真值的微分，用 Δ\Delta 取代 d\mathrm{d}. （有人问真值为 0 怎么办，绝大多数情况下可以通过平移零点定义的办法来几乎任意地改变测量值的数量级，而误差不会因为这种变换而出现数量级变化。）

还因为对多个自变量的测量是相互独立的，每个自变量 (x1,x2,...,xn)(x_1,x_2,...,x_n) 占据相空间中的一个维度，维度之间互相正交。

所以物理上，因变量的误差就是上述 微分 微差向量的“长度”，以 L2 范数 (norm) 来衡量：

Δy=(∂f∂x1∣x⃗)2Δx12+(∂f∂x2∣x⃗)2Δx22+...+(∂f∂xn∣x⃗)2Δxn2=∑in(∂f∂xi∣x⃗)2Δxi2\begin{array}{rcl}\Delta y & = & \sqrt{ \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}\bigg|_{\vec x}\right)^2\Delta x_1^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial x_2}\bigg|_{\vec x}\right)^2\Delta x_2^2 +...+ \left(\frac{\partial f}{\partial x_n}\bigg|_{\vec x}\right)^2\Delta x_n^2 } \\ & = & \sqrt{\sum_i^n{\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\bigg|_{\vec x}\right)^2\Delta x_i^2}}\end{array}

物理学家因此不害怕误差——理论物理的模型哪怕非常复杂，在数学上往往依然“性质优美”，只要理论的自变量可以在实验上测量，误差明确且有限，那理论给出的预测值的误差就同样明确且有限，依然可以指导实践。

误差与可证伪性

而根据卡尔·波普尔的科学哲学，具体来说就是可证伪性的划界标准，科学就不只是不害怕误差了，简直是依赖误差而生，靠误差来和伪科学划清界限。

所谓科学的可证伪性，《科学是什么？——兼谈“非科学、伪科学、反科学”和一些常见谬误》一文概括为：

  • 科学理论是一个相互关联的命题的集合。
  • 科学理论必须是基于演绎法建立整个理论体系的。也就是从不证自明的定律出发，依据逻辑规则，推论出各种各样的定理。
  • 理论中的命题必须是客观陈述，也就是能由不同的主体进行独立检验。
  • 检验的方式是证伪，也就是寻找现实中的一个现象，说明从理论中某个命题是错的。经过证伪程序，且没能被证伪的命题，就被验证为真。（根据逆否命题的等价性，演绎推论如果被证伪，它的逻辑前提也会连锁被证伪。那科学几百年来靠什么幸存，我们以后再狡辩～）
  • （既然一个存在命题就能否定一个学科理论中的待验证命题，）科学理论中的命题应该是全称命题，此即科学的普世性 (universality)。
  • 对全称命题的特设性修正（比如把“所有的天鹅都是白色的”修正成“所有北半球的天鹅都是白色的”），应该要提高理论的可证伪程度，否则就是伪科学。
  • 以上各个要求，单独只构成必要条件。

所以定量科学的科学性就体现在，

  • 只要理论的自变量和因变量可以在实验上测量，
  • 自变量的误差明确且有限，那理论给出的预测值的误差就同样明确且有限，
  • 因变量的误差同样明确且有限，
  • 将理论预测值和因变量测量值摆在一起，只要差距不大于两者的误差，（技术细节在统计学中的假设检验部分。）
  • 我们就认为对“理论预测和因变量真值相等”的证伪失败了，从而接受他们相等。

因为实验仪器和方法的进步可以缩小误差范围，增加科学理论的可证伪性，一条无限延展且随时可以投入精力的赛道从此出现，科学从相隔几代的少数天才之间的思维接力，变成了夙兴夜寐前赴后继的竞赛。

科学家之间的竞争催生了对制造仪器之工程技术的巨大需求，需求大到部分科学家亲自下场改进甚至发明仪器，科学由此反哺技术；进步的技术使得科学得以产出更高质量的数据，支持更复杂的理论的检验。科学和技术，合成了“科技”一个词。

试想一下，如果科学号称自己绝对精确，不存在误差，要么在弱小之时就被证伪，无法赢得人们的信任；要么任由实验精度低到看不出误差的程度，然后用其他手段维持自己的光辉形象。

之前《也谈近代科学从西方起步》一文中说，“物理和数学的区别，在于理论和实验两条腿走路”。如今算是把实验这另一条腿简单介绍完了。

最后需要注意，这里说的是某个哲学理论能够解释科学实践，而不是科学实践必须服从某套哲学理论。

科学只对客观现实负责，不需要对哲学信条负责，不应该对哲学王兼英雄王负责。

科学还正确吗？

如果承认可证伪性作为科学与非科学的划界标准，也就意味着，现在包含在科学中的每条知识，都有在未来被更加精确的实验推翻的可能。

这种事也不是没发生过。比如材料的电阻，在相当大的数值范围内，都和温度成线性关系，而且这条线向左延拓到绝对零度时基本为 0。在那个时代，认为电阻来自无规则的热运动，和绝对温标成正比才是符合奥卡姆剃刀原则的理论。但是 1908 年，昂内斯用液氦将汞的温度降到 4.15 K 时，发现汞的电阻突变降低为 0，这就是超导研究的开端。

那还能说科学知识是正确的吗？《费曼物理学讲义》的回答是，不谈科学是不是正确的，只保证科学 (science) 是科学的 (scientific)。也就是保证程序的正确，把正确程序获得的结果交给工程技术，用工程技术上的成就取信于社会，反过来为科学的正确性背书。

所以说，科学家是对科学最不迷信的一批人，一旦实验过程正确，结果和理论不符，那么理论该修改的修改，该放弃的放弃。他们是现有科学最大的破坏者，是成功证伪科学命题最多的一群人。

但同理，科学家又是对科学最坚定的一批人，他们在明知道一个科学命题可能在将来被修正的情况下，依然愿意把它当作前提，继续推理产出新的命题，并试图证伪。

《三体》小说刚开始设置的一大悬疑，大量科学家因为自己正在进行的研究，产出了与理论完全不吻合的随机结果，因为所谓“物理学不存在了”而自杀，这个情节就很成问题。

何况这种事情根本不需要书中的情节设定才会出现，物理学史上早就发生过。比如 β 衰变的质子的动能谱和动量角分布。玻尔想放弃能量守恒定律，泡利想假设一个探测器发现不了的新粒子，这在当时的实验条件下都是尚不能证伪的理论假设，但没听说俩人为这事寻死觅活的。

所以改编成电视剧的时候，几乎重写整个人物关系的网飞版，把自杀改写成了球奸们伪装的他杀；就连以忠实于原作著称的腾讯版，也原创了一段主角主动重启科研装置，直面外星人恐吓的剧情，给原著做了点找补。

那我缺的权威性这块谁给我补上啊

坏了，碰到了不该碰的话题，那就先这样吧……

报书名儿

  • William Lichten.《Data and Error Analysis》
  • 赵凯华《定性和半定量物理学》
  • 卡尔·波普尔《科学发现的逻辑》
  • 理查德·费曼《费曼物理学讲义》
本文收录于以下合集：