.mov | 《末日后酒店》造火箭时黑板上的公式

今年刚完结的 4 月番《末日后酒店》(Apocalypse Hotel) 讲的是未来人类因为某种病毒而无法在地球生存，集体乘飞船离开之后，一家酒店的服务机器人们被原主委托继续经营的故事。

非常好看，有一种《相合之物》+《别对映像研出手》的感觉。

第 7 集中，大家决定向太空中发射广告卫星、动能自卫武器，于是狸猫星人的火箭科学家开始在黑板上演算：

傅里叶变换

左边第一行（红框里）是傅里叶变换

$$\hat f(\xi)=\int_{-\infin}^{\infin}f(x)e^{2\pi ix\xi}dx$$

傅里叶变换有多个稍微不同的版本，积分号外面的常数项和指数函数的宗量比较灵活，但是需要保证变换和逆变换的常数项相乘等于 1/(2π)，指数相加等于 0.

这一变换把一个以 x 为自变量的函数变换成了另一个以 $\xi$ 为自变量的函数，两个自变量的量纲互为倒数。有些在原空间不方便解的问题，在倒空间里方便很多。一个典型的例子是扩散方程。

斯托克斯公式

左边第二行（绿框里）是斯托克斯公式：

$$\iint_S (\nabla\times\vec A)\cdot d\vec s = \oint_{\partial S}\vec A\cdot d \vec l$$

一个向量场 $\vec A$ 的旋度在一个曲面 S 上的积分，等于这个向量场在曲面边缘 $\partial S$ 的闭合线积分。

原图积分号看不清楚，而且向量场 A 没标箭头。

热力学第二定律

左下角（蓝框里）的不等式是热力学第二定律：

$$S(A)+\int_A^B\frac{\delta Q}{T}\leq S(B)$$

公式中的积分里的微分号写作 δ，因为吸热放热是一个过程量而非状态量，积分的结果取决于从 A 到 B 的具体方式，这也是中间是不等号的原因。只有可逆过程才能让等号成立。

不可压缩流体的纳维·斯托克斯方程、随体导数

左起第 2 列上方（橙色框里）的两行，第一行应该是不可压缩牛顿流体的纳维·斯托克斯方程，基本是从牛顿第二定律经过变量替换直接得到的：

$$\begin{array}{rl} \rho\frac{D\vec v}{Dt} = & -\nabla p + \mu\nabla^2\vec v + f \\ \frac{D\vec v}{Dt} = & \frac{\partial\vec v}{\partial t}+ (\vec v\cdot \nabla)\vec v \end{array}$$

动画中的写法不同于此处，这里的写法是从维基百科上偷来的。

第二行是随体导数 $\frac{D}{Dt}$ 的定义。流体力学里有两种视角，

• 一种是取一段宏观无穷小的流体，跟随着它的移动，考察其受到的外力而得知其运动状态，这种视角叫做拉格朗日视角；
• 另一种是置身流体外，描述惯性系下(x, y, z) 位置的地方的流体在 t 时刻的速度，这种视角叫做欧拉视角。

前者建模的时候更符合直觉，后者表达出来更直观。沟通两者的桥梁就是随体导数。

物理专业不学流体力学，这是我本科时跑去数学系 看美女 蹭课时听到的。随体导数的推导方法已经不记得了，以后有时间去翻翻笔记。

麦克斯韦方程

狸猫星人头左边（黄框内）的四条公式就是麦克斯韦方程组：

$$\begin{array}{ll} \nabla\ \cdot\ \vec B(t,\vec x)=0 \\ \nabla \times \vec E(t,\vec x)+\frac{\partial \vec B(t,\vec x)}{\partial t} = 0 \\ \nabla\ \cdot\ \vec D(t,\vec x) = \rho(t,\vec x) \\ \nabla\times \vec H(t,\vec x) -\frac{\partial \vec D(t,\vec x)}{\partial t} = \vec j(t,\vec x) \end{array}$$

用来描述电场和磁场的动力学。动画中仍然没有向量符号，B, E, D, H 场没有向量符号也就罢了，毕竟大家基本都默认它们是向量；但是 x 没有箭头就不应该了，一维空间里谈不上散度，也定义不了旋度。

逻辑斯蒂 (logistic) 动力学

狸猫星人头顶（蓝框内）是逻辑斯蒂 (logistic) 动力学方程，这是一种用递推公式表示的离散动力学系统：

$$X_{n+1}=aX_{n}(1-X_{n})$$

其中常数 1 可以变成一个可变参数 κ，当初值位于 0 和 κ 之间时，这个动力学系统可以模拟出动物群体数量的 S 形增长曲线，κ 就是生态系统对这一物种的环境承载力。

把 κ 固定成 1，可以方便讨论参数 a，在某些取值范围内，这个动力学系统可以表现出混沌现象。

你问我这个公式为什么出现在这里，我不知道啊……

图片重用

右侧两个灰框里的内容相同，只是做了一下缩放。这种做法严重违反学术道德，在学术出版物中是要撤稿的。

在学术出版物中重用他人的图片，哪怕是自己早先文章里的图片，也要用符合规范的方式注明引用。

斐波那契数列

灰框里面，浅绿色框以外的部分是斐波那契数列：

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

前两项是 1, 1，此后每一项是其他两项之和： $F_n=F_{n-1}+F_{n-2},\ n>2$

以上是递推公式。它的通项公式就是黑板上的：

$$\begin{array}{rcl} F_n & = & \frac{1}{\sqrt{5}}\left\{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right\} \\ & = & \frac{\phi^n-(1-\phi)^n}{\sqrt{5}} \\ & = & \frac{\phi^n-(-\phi)^{-n}}{\sqrt{5}} \end{array}$$

其中 $\phi$ 是黄金比例 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

你问我这个公式为什么出现在这里，我不知道啊……

正态分布

灰框里面的绿框里是正态分布的概率密度：

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$$

μ 是该分布的期望，σ 是该分布的标准差。

指数前面的系数，是为了保证整个表达式的在整个实数轴上的积分为 1. 而要求出指数项的积分，需要先将系统升到 2 维，然后将笛卡尔坐标系换成极坐标系。

$$\begin{array}{rcl} \int_{-\infty}^{+\infty}{\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)dx} & = & \sqrt{\left(\int_{-\infty}^{+\infty}{\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\mathrm dx}\right)^2} \\ & = & \sqrt{\int_{-\infty}^{+\infty}{\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\mathrm dx}\int_{-\infty}^{+\infty}{\exp\left(-\frac{(y-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\mathrm dy}} \\ & = & \sqrt{\iint_{-\infty}^{+\infty}\exp{\left(-\frac{(x-\mu)^2+(y-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\mathrm d(x-\mu)\ \mathrm d(y-\mu)}} \\ & = & \sqrt{\int_0^{2\pi}\int_0^{+\infty}\exp{\left(-\frac{r^2}{2\sigma^2}\right)}\ r\mathrm d r\ \mathrm d\theta} \\ & = & \sqrt{2\pi\cdot \frac{1}{2}\int_0^{+\infty}\exp{\left(-\frac{r^2}{2\sigma^2}\right)}\mathrm dr^2} \\ & = & \sqrt{\pi (-2\sigma^2)[-\exp{(-r^2/2\sigma^2)}]|_{0}^{+\infty}} \\ & = & \sqrt{2\pi\sigma^2} \end{array}$$

万有引力

四大基本相互作用之一：

$$F=G\frac{Mm}{r^2}$$

整个黑板最能和火箭扯得上关系的公式了。

（可能是）Black–Scholes–Merton 方程

狸猫星人右肩旁边（红框内）的公式被挡住了一部分，只剩下：

$$\dots\ (\sigma^2 S_t^2\frac{\partial^2\zeta}{\partial S_t^2}) + rS_t\frac{\partial \zeta}{\partial S_t}$$

问了一下 ChatGPT，得知可能是 Black–Scholes–Merton 方程：

$$\frac{\partial V}{\partial t}+\frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}+rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0$$

但是这个方程是用来估算金融市场里欧式期权的价格的——

你问我这个公式为什么出现在这里，我不知道啊……